Pintar Bersama : MAKALAH DALIL RANTAI ATAU ATURAN RANTAI DALAM TURUNAN

MAKALAH DALIL RANTAI ATAU ATURAN RANTAI DALAM TURUNAN

Disusun oleh:

Dewi Martiwi Radiyanti (1522390141)

Dosen Pembimbing:

Ruruh Wuryani, S.Si, MM

STMIK RAHARJA KOTA TANGERANG

Jl. Jendral Sudirman No. 40 Modern-Tangerang, Banten 15117
Telepon : 021-552-9692, 021-552-9586

KATA PENGANTAR

Puji syukur saya panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena dengan rahmat, karunia, serta taufik dan hidayah-Nya kami dapat menyelesaikan makalah tentang  Dalil Rantai atau Aturan Rantai dalam Turunan ini dengan baik meskipun banyak kekurangan didalamnya. Dan juga kami berterima kasih pada Ibu Ruruh Wuryani S.Si MM, selaku Dosen mata kuliah Kalkulus yang telah memberikan tugas ini kepada saya.
       Saya sangat berharap makalah ini dapat berguna dalam rangka menambah wawasan serta pengetahuan tentang Dalil Rantai dalam Turunan. Saya juga menyadari sepenuhnya bahwa di dalam makalah ini terdapat kekurangan dan jauh dari kata sempurna. Oleh sebab itu, saya berharap adanya kritik, saran dan usulan demi perbaikan makalah yang telah saya buat di masa yang akan datang, mengingat tidak ada sesuatu yang sempurna tanpa saran yang membangun.
       Semoga makalah sederhana ini dapat dipahami bagi siapapun yang membacanya. Sekiranya laporan yang telah disusun ini dapat berguna bagi saya sendiri maupun orang yang membacanya. Sebelumnya kami mohon maaf apabila terdapat kesalahan kata-kata yang kurang berkenan dan kami memohon kritik dan saranyang membangun dari Anda demi perbaikan makalah ini di waktu yang akan datang.

Tangerang, April 2016

Penyusun

DAFTAR ISI

BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang........................................................................................................................ 1
1.2 Rumusan Masalah................................................................................................................... 1
1.3 Tujuan Pembuatan................................................................................................................... 1

BAB II
PEMBAHASAN

2.1 Turunan................................................................................................................................... 2
2.1.2 Definisi Turunan.................................................................................................................. 2
2.1.3 Turunan Dasar...................................................................................................................... 2
2.1.4 Turunan Jumlah  Selisih, Hasil Kali, dan Hasil Bagi Dua Fungsi......................................... 2
2.1.5 Turunan Fungsi Invers......................................................................................................... 3
2.2 Kaidah Rantai......................................................................................................................... 3
2.2.1 Definisi Kaidah Rantai........................................................................................................ 3
2.2.2. Aturan Rantai Turunan....................................................................................................... 3
2.2.3 Aturan Rantai....................................................................................................................... 4

BAB III
PENUTUP
3.1 KESIMPULAN...................................................................................................................... 5
3.2 SARAN.................................................................................................................................. 5

DAFTAR PUSTAKA.................................................................................................................. 6

BAB I

PENDAHULUAN

1.1  Latar Belakang

Dalam kalkulus, kaidah rantai atau aturan rantai adalah rumus untuk turunan fungsi komposit (fungsi bersusun) dari dua fungsi matematika.

Turunan adalah salah satu cabang ilmu matematika yang digunakan untuk menyatakan hubungan kompleks antara satu variabel tak bebas dengan satu atau beberapa variabel bebas lainnya. Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang  bersamaan oleh Newton dan Leibniz dari tahun 1665 sampai dengan tahun 1675 sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika. Sir Isaac  Newton (1642 - 1727) , ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716), ahli matematika bangsa Jerman dikenal sebagai ilmuwan yang menemukan kembali kalkulus. Kalkulus memberikan bantuan tak ternilai pada  perkembangan beberapa cabang ilmu pengetahuan lain. Dewasa ini kalkulus digunakan sebagai suatu alat bantu yang utama dalam menyelesaikan berbagai permasalahan ilmu  pengetahuan dan teknologi.

1.2  Rumusan Masalah

a.       Apakah Turunan?

b.      Apakah definisi Kaidah Rantai?

c.       Bagaimana deskripsi aturan rantai?

1.3  Tujuan Pembuatan

a.       Mengetahui definisi turunan

b.      Mendeskripsikan aturan rantai

BAB II

PEMBAHASAN

2.1 Turunan

2.1.1 Definisi Turunan

Turunan atau Derivatif dalam ilmu kalkulus merupakan pengukuran terhadap bagaimana fungsi berubah seiring perubahan nilai input. Secara umum, turunan menyatakan bagaimana suatu besaran berubah akibat perubahan besaran lainnya; contohnya, turunan dari posisi sebuah benda bergerak terhadap waktu adalah kecepatan sesaat objek tersebut.

Proses dalam menemukan turunan disebut diferensiasi. Kebalikan dari turunan disebut dengan antiturunan. Teorema fundamental kalkulus mengatakan bahwa antiturunan sama dengan integrasi. Turunan dan integral adalah 2 fungsi penting dalam kalkulus.

• 
• 
• 
• 

• adalah simbol untuk turunan pertama.
• adalah simbol untuk turunan kedua.
• adalah simbol untuk turunan ketiga.

simbol lainnya selain dan adalah dan

2.1.2  Turunan Dasar

Aturan - aturan dalam turunan fungsi adalah:

1.      f(x), maka f'(x) = 0

2.      Jika f(x) = x, maka f’(x) = 1

3.      Aturan pangkat : Jika f(x) = xⁿ, maka f’(x) = n X ^{n – 1}

4.      Aturan kelipatan konstanta : (kf) (x) = k. f’(x)

5.      Aturan rantai : ( f o g ) (x) = f’ (g (x)). g’(x))

2.1.3 Turunan Jumlah  Selisih, Hasil Kali, dan Hasil Bagi Dua Fungsi

Misalkan fungsi f dan g terdiferensialkan pada selang I, maka fungsi f + g, f – g, fg, f/g, ( g (x) ≠ 0 pada I ) terdiferensialkan pada I dengan aturan :

1.     ( f + g )’ (x) = f’ (x) + g’ (x)

2.     ( f – g )’ (x) = f’ (x) - g’ (x)

3.     (fg)’ (x) = f’(x) g(x) + g’(x) f(x)

4.     ((f)/g )’ (x) = (g(x) f' (x)- f(x) g' (x))/((g(x)²)

2.1.4   Turunan Fungsi Trigonometri

1.     d/dx ( sin x ) = cos x

2.     d/dx ( cos x ) = - sin x

3.     d/dx ( tan x ) = sec² x

4.     d/dx ( cot x ) = - csc² x

5.     d/dx ( sec x ) = sec x tan x

6.     d/dx ( csc x ) = -csc x cot x

2.1.5 Turunan Fungsi Invers

       (f^-1)(y) = 1/(f' (x)), atau dy/dx 1/(dx/dy

2.2 Kaidah Rantai
2.2.1 Definisi Kaidah Rantai
Dalam kalkulus, kaidah rantai atau aturan rantai adalah rumus untuk turunan fungsi komposit (fungsi bersusun) dari dua fungsi matematika.

Secara intuitif, bila variabely bergantung pada variabel kedua, u, yang pada gilirannya bergantung pada variabel ketiga, x, maka laju perubahan y terhadap x dapat dihitung sebagai laju perubahan y terhadap u dikalikan dengan laju perubahan u terhadap x. Ini dapat dituliskan sebagai

2.2.2 Aturan Rantai Turunan
turunan suatu fungsi didapat dengan memanfaatkan definisi turunan fungsi yaitu,

Penggunaan definisi tersebut cenderung mudah untuk fungsi tunggal yang sederhana, tetapi penggunaaanya menjadi lebih rumit, memakan waktu lama dan tentunya melelahkan apabila kamu diminta untuk menentukan turunan dari fungsi yang berderajat besar seperti

f (x) = (x² +x + 1)¹⁰⁰ . Dengan menggunakan definisi, mula-mula kamu harus menjabarkan f (x) ke dalam suatu suku banyak berderajat 200, kemudian mencari turunan dari setiap suku yang ada satu per satu.

Setelah mempelajari topik ini, kamu tidak perlu khawatir jika diminta untuk menentukan turunan fungsi berderajat besar karena kamu akan mempelajari suatu metode (prosedur) penentuan turunan fungsi yang lebih ‘canggih’ dibanding metode-metode sebelumnya. Prosedur ini pertama kali diperkenalkan oleh seorang matematikawan Jerman bernamaGottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) yang dikenal dengan nama Aturan Rantai.

2.2.3 Aturan Rantai

Misalkan y = f (u) dan u = g (x), y memiliki turunan di u dan u memiliki turunan di x sehingga, fungsi komposisi y = (f o g) (x) = f (g (x)) memiliki turunan di x yaitu,

(f o g)’ (x) = f’ (g (x)) . g’ (x)

atau
dydx = dydu . dudx

atau bisa pula dipahami sebagai,
Dxy = Dxy

Dalam bahasa yang lebih sederhana, aturan rantai menyatakan bahwa turunan fungsi komposisi ditentukan dengan mengalikan fungsi terluar yang diturunkan terhadap fungsi di dalam (f’ (g (x)) dengan turunan dari fungsi di dalam (g’(x)).

Aturan ini akan lebih mudah dipahami jika kamu mempelajari contoh berikut yang diselesaikan dengan menggunakan ketiga notasi yang telah diperkenalkan sebelumnya.

Contoh

Carilah turunan pertama dari fungsi y= (x² + x + 1)¹⁰⁰ terhadap x.
Penyelesaian:
Untuk mempermudah perhitungan, mula-mula kita misalkan u = g (x) = x² + x +1 sehingga diperoleh y = f (u) = u¹⁰⁰

BAB III

PENUTUP

A. KESIMPULAN

Turunan merupakan salah satu bagian dari kalkulus yang mempunyai peranan yang sangat besar baik dalam bidang-bidang lain maupun dalam matematika itu sendiri. Denganmempelajari turunan, maka dapat mempermudah kita dalam menyelesaikan masalah-masalahyang berkaitan dengan fungsi, integral dan  bidang kalkulus lainnya.

B.  SARAN

   Saya berharap makalah ini dapat memberikan manfaat serta keada Dosen mata kuliah untuk menjelaskan lagi karena banyak yang belum mengerti tentang materi ini. Kritik dan saran saya perlukan agar makalah ini lebih bermanfaat untuk semua orang.

DAFTAR PUSTAKA

id.wikipedia.org

www.academia.edu/6231370/Turunan-fungsi

uyuhan.com › Matematika › Diferensial

mafia.mafiaol.com › Turunan Fungsi IA